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Der Multinomialkoeffizient oder auch Polynomialkoeffizient ist eine Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten. Für nichtnegative ganze Zahlen k 1 , … … , k r {\displaystyle k_{1},\dotsc ,k_{r}} und n := k 1 + ⋯ ⋯ + k r {\displaystyle n:=k_{1}+\dotsb +k_{r}} ist er definiert als

( n k 1 , … … , k r ) := n ! k 1 ! ⋯ ⋯ k r ! . {\displaystyle {n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}:={\frac {n!}{k_{1}!\dotsm k_{r}!}}.} cite-ref-1[1]

Dabei ist n ! = n ⋅ ⋅ ( n − − 1 ) … … 2 ⋅ ⋅ 1 {\displaystyle n!=n\cdot (n-1)\dots 2\cdot 1} die Fakultät von n {\displaystyle n} bzw. analog k i ! {\displaystyle k_{i}!} die Fakultät von k i {\displaystyle k_{i}} .

Für r = 2 {\displaystyle r=2} und k := k 1 {\displaystyle k:=k_{1}} muss k 2 = n − − k {\displaystyle k_{2}=n-k} sein und man erhält als Spezialfall den Binomialkoeffizienten ( n k ) = ( n k 1 , k 2 ) = n ! k ! ( n − − k ) ! {\displaystyle {n \choose k}={n \choose k_{1},k_{2}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}} .

• Eigenschaften

• Anwendungen und Interpretationen

• Multinomialsatz

• Multinomialverteilung

• Kombinatorische Deutungen

• Pascalsche Simplizes

• Weblinks

• Einzelnachweise

Multinomialkoeffizienten sind stets ganzzahlig.

Sie lassen sich auf verschiedene Arten darstellen, zum Beispiel auch mithilfe von Binomialkoeffizienten als

( k 1 + ⋯ ⋯ + k r k 1 , … … , k r ) = ( k 1 k 1 ) ( k 1 + k 2 k 2 ) ⋯ ⋯ ( k 1 + k 2 + ⋯ ⋯ + k r k r ) = ∏ ∏ i = 1 r ( ∑ ∑ s = 1 i k s k i ) {\displaystyle {k_{1}+\cdots +k_{r} \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}={k_{1} \choose k_{1}}{k_{1}+k_{2} \choose k_{2}}\cdots {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{r} \choose k_{r}}=\prod _{i=1}^{r}{\sum _{s=1}^{i}k_{s} \choose k_{i}}} .

Multinomialkoeffizienen treten auf, wenn man ein Multinom, also eine Summe mit mehr als zwei Summanden potenziert. In Verallgemeinerung des binomischen Satzes gilt nämlich nach dem Multinomialtheorem (auch Polynomialsatz)

( x 1 + ⋯ ⋯ + x r ) n = ∑ ∑ k 1 + ⋯ ⋯ + k r = n ( n k 1 , … … , k r ) ⋅ ⋅ x 1 k 1 ⋯ ⋯ x r k r {\displaystyle (x_{1}+\dotsb +x_{r})^{n}=\sum _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}\cdot x_{1}^{k_{1}}\dotsm x_{r}^{k_{r}}} .

Hieraus folgt sofort:

∀ ∀ r ∈ ∈ N : r n = ∑ ∑ k 1 + ⋯ ⋯ + k r = n ( n k 1 , … … , k r ) ⋅ ⋅ 1 k 1 ⋯ ⋯ 1 k r = ∑ ∑ k 1 + ⋯ ⋯ + k r = n ( n k 1 , … … , k r ) . {\displaystyle \forall r\in \mathbb {N} :r^{n}=\sum _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}\cdot 1^{k_{1}}\dotsm 1^{k_{r}}=\sum _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}.}

Anwendung finden jene Koeffizienten auch in der Multinomialverteilung

P ( X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , … … , X r = k r ) = ( n k 1 , … … , k r ) ⋅ ⋅ p 1 k 1 ⋅ ⋅ p 2 k 2 ⋯ ⋯ p r k r {\displaystyle P(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2},\dotsc ,X_{r}=k_{r})\;=\;{n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}\cdot p_{1}^{k_{1}}\cdot p_{2}^{k_{2}}\dotsm p_{r}^{k_{r}}} ,

einer Wahrscheinlichkeitsverteilung diskreter Zufallsvariablen.

Der Multinomialkoeffizient ( n k 1 , … … , k r ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{r}}}} gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, n {\displaystyle n} (unterscheidbare) Objekte in r {\displaystyle r} Schachteln zu legen, wobei in die erste Schachtel genau k 1 {\displaystyle k_{1}} Objekte sollen, in die zweite Schachtel k 2 {\displaystyle k_{2}} Objekte usw.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, von den 32 Karten eines Skatspiels je 10 Karten den 3 Spielern sowie 2 Karten in den "Skat" zu geben, wenn die Reihenfolge der Karten nicht beachtet wird?

Da es sich um n = 32 {\displaystyle n=32} Objekte handelt, die in r = 4 {\displaystyle r=4} Schachteln aufzuteilen sind, wobei in die ersten drei Schachteln je k 1 = k 2 = k 3 = 10 {\displaystyle k_{1}=k_{2}=k_{3}=10} Objekte und in die vierte Schachtel k 4 = 2 {\displaystyle k_{4}=2} Objekte sollen, ist die Anzahl der Möglichkeiten durch folgenden Multinomialkoeffizienten gegeben:

( 32 10 , 10 , 10 , 2 ) = 32 ! 10 ! ⋅ ⋅ 10 ! ⋅ ⋅ 10 ! ⋅ ⋅ 2 ! = 2.753.294.408.504.640 {\displaystyle {32 \choose 10,\,10,\,10,\,2}={\frac {32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!}}=2.753.294.408.504.640}

Der Multinomialkoeffizient ( n k 1 , … … , k r ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{r}}}} gibt außerdem die Anzahl der verschiedenen Anordnungen von n {\displaystyle n} Objekten an, von denen k 1 , k 2 , … … , k r {\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{r}} gleich sind.cite-ref-2[2]

Wie viele verschiedene „Wörter“ lassen sich aus den Buchstaben MISSISSIPPI bilden?

Gesucht ist also die Anzahl der Möglichkeiten, elf Buchstaben ( n = 11 {\displaystyle n=11} ) anzuordnen, wobei das "M" einmal ( k 1 = 1 {\displaystyle k_{1}=1} ), das "I" sowie das "S" jeweils viermal ( k 2 = k 3 = 4 {\displaystyle k_{2}=k_{3}=4} ) und das "P" zweimal ( k 4 = 2 {\displaystyle k_{4}=2} ) vorkommt. Diese Anzahl beträgt

( 11 1 , 4 , 4 , 2 ) = 11 ! 1 ! ⋅ ⋅ 4 ! ⋅ ⋅ 4 ! ⋅ ⋅ 2 ! = 34.650. {\displaystyle {\binom {11}{1,4,4,2}}={\frac {11!}{1!\cdot 4!\cdot 4!\cdot 2!}}=34.650.}

Zum Vergleich: Die Anzahl der Möglichkeiten, elf paarweise verschiedene Objekte anzuordnen, ist mit 11! = 39.916.800 wesentlich höher.

Analog zum pascalschen Dreieck der Binomialkoeffizienten lassen sich auch die r {\displaystyle r} -ten Multinomialkoeffizienten als geometrische Figuren (Simplizes) anordnen: Die Trinomialkoeffizienten führen zur pascalschen Pyramide, die weiteren zu r {\displaystyle r} -dimensionalen pascalschen Simplizes.

• Eric W. Weisstein: Multinominal Coefficient. In: MathWorld (englisch).

• Norbert Henze: Multinomialkoeffizient und multinomialer Lehrsatz In: KIT-Bibliothek Medienportal

cite-note-11. ↑ Tilo Arens et al.: Mathematik. 5. Auflage. Springer, Berlin 2022, ISBN 978-3-662-64388-4, S. 93.

cite-note-22. ↑ Karl Mosler, Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-27787-3, S. 19.